稱重原理—力矩平衡和靜不定原理

本文詳細分析了四支點靜不定稱重系統的工作原理以及角差修正和用于重心測量的問題，并舉實例進行解讀。

一、引言

本文所討論的問題是重力式衡器稱重遵循的兩個基本原理：即衡器的靜力平衡條件。物體保持靜平衡的必要且充分條件是：諸作用力平衡∑（靜力）=0 和諸作用力矩平衡∑（靜力矩）=0。

另一個遵循的原理，即是靜不定原理。一個有三個支點的物體，只要重心處于三支點構成的三角形內，物體始終處于穩定的靜力平衡狀態。并且根據支點和重心的幾何位置，就可確定三個支點的受力大小，反之測得三個支點受力值，可確定物體的重量和物體重心的位置。從數學的角度講，在這種情況，我們可以列出一個和力與兩個力矩方程。根據這三個方程即可求出三個未知數，問題可精確求解。

對于有四個支點的物體，在理想的靜平衡狀態，只有在物體重心所處的三個支點組成的三角形的這三個支點才受力，而另一個支點是不會受力。然而在實際情況中，我們使用的器物往往都有四個支點。例如，將一個四條腿的凳子放在不平的地面，很可能只有三條腿著地，更甚者也可能只有兩條腿支撐著搖晃的凳子，此時我們感到

在這兩種情況下，凳子的狀態并不穩定。但更多的情況是四條腿均著地，凳子處于穩定狀態。這與理想狀態相違背，在理想狀態無論如何只可能有三支點受力，而現在四個支點都受力，造成這種情況的原因是由于地面不平所至。四個支點與地面的著力點不在同一水平面上。對于三支點的系統雖然著力點也不在同一水平面，但由靜力平衡的條件可能得到一個和力方程與兩個力矩平衡方程，由此可求解。而四支點系統也只能得到三個力學方程，不能求解。這樣的系統稱為靜不定系統 （Statically Undefined Systems）。靜不定問題在力學教材都有講述。我們常見的四只傳感器組成的衡器均為靜不定系統。是本文討論的主要問題。

二、衡器的靜平衡

基于杠桿原理的桿秤、天秤，是最早使用的衡器，具有支點軸、載荷軸和力軸的簡單杠桿，是最基本的衡器結構。每個軸的位置分別被稱為支點、重心和力點。

按照這三個點的分布，可以把基本杠桿分為三種類型，即第一類杠桿、第二類杠桿和第三類杠桿，如圖 1 所示。F 是支點、A 是重點、B 是支點，這三個力互相平行，它們作用力在同一直線上。

按照聯接杠桿的數量可將杠桿 （系） 分為單一杠桿和復合杠桿 （系）。單一杠桿是獨立的，如杠桿的桿和天平的橫梁。而復合杠桿則是由相關聯的杠桿組合而成，機械式的臺秤和地秤均屬復合杠桿結構。由四支傳感器支承的電子衡器，四個支點、同時也是力點。承載器為框架結構的“二維杠桿”組成的復合杠桿系。

以第一類杠桿為例，分析其靜力平衡和稱重原理。在實際中，支點、重點和力點不可能在同一水平線上，如圖 2 所示。

物的重量。

下面再討論此類杠桿的“靈敏度”和“穩定性”。假設在重點 A 施加一小荷載△W，杠桿將產生一個小的偏轉角△θ，杠桿達到一個新的平衡位置，根據圖 2，此時杠桿在施加載荷后的力矩平

由此關系式可以得到以下結論：

（1） 若 ha≠0 或 hb≠0，S 受 W 或 F 的影響；（2） 若 ha=hb=0，S 不受 W 或 F 的影響；（3） 若 ha=hb=hc，則 S=∞，無窮大；（4） 若上式分母為負，則系統不穩定。

由于此結果的影響，在很長一段時間，人們認為把天平的負載荷盤置于天平橫梁之上是不可能實現。直到 1670 羅伯威爾 （Roberval） 首先解決了這個問題，然而遺憾的是，還繼續了近兩個世紀，他的發明才獲得應用。值得提出的是：羅伯威爾天平的另一個特點是稱重結果與砝碼和載荷放置的位置無關，即被測物體的重心處于承載器的不同位置其測量結果相同。

下面我們從數學的觀點，討論三支點衡器，如圖 3 所示，A、B、C 三點放置傳感器，被測物 W 重心到三邊的距離為 ha、hb 和 hc。Ha、Hb 和 Hc 為三角形的高。根據力矩平衡條件：

F·aha=W·Ha，F·ahb=W·Hb 和 F·chc=W·Hc

幾何學證明：

ha  + ha  + ha  =1

Ha Ha Ha

即：Fa+Fb+Fc=W 與和力平衡方程一致。對于三支點衡器，通過測量三支點的力值就可得到被測物的重量的重心位置。反之，由被測物的幾何位置和重量，通過計算就可求得三支點的受力大小。

三、靜不定衡器

由四只傳感器支撐的衡器，屬于靜不定系統。如前所述對于這樣的系統，可得到一個和力方程與兩個力矩平衡方程，而有四個未知數。因不能通過計算求出四只傳感器的受力情況，如圖 4 所

示。反之是否測得四只傳感器的受力大小，就可得到被稱物的重量？

在調四角偏載時得到四組數據，而且四組測量結果都不相同，可用下式表示：

F11+F21+F31+F41=M1

F12+F22+F32+F42=M2

F13+F23+F33+F43=M3

F14+F24+F34+F44=M4

這是與直覺很不一樣的結果，同一重物由于放置位置不同測出不同的重量，而用來測量的四只傳感器事先選用靈敏度相同的，按“道理”，測量結果應該是相同的。這種矛盾應如何解釋？通常我們是通過一些大家認同的方法經調節后使四角偏載稱重結果相同，卻很少有人去思考矛盾發生的原因和調節方法的依據。

由此可見，此時測得的四個支點受力之和，

不等于被支撐物的重量。結果不僅與力矩平衡的受力分配系數有關，還與被支撐物的重心位置 X0

和 Y0 有關。還要特別記住，即使被支撐物的物理和幾何狀態沒有變化，只要重心位置發生改變，力矩平衡的受力分配系數也發生改變。

根據上述分析，我們得到一個重要的結論，

對于靜力平衡的第一個條件，即各作用力之和為零，這只有對共點力的情況成立，此時作用力的合力與諸反作用的合力相等。第二種靜力平衡為力矩平衡，此時作用力與反作用力互為平行力，此時作用力矩等于反作用力矩。對于靜不定系統，作用在四支承點力值之和不等于力矩的力值之和，

（7） 式的數學表示式就表明此種力學現象。使這

兩個力值相等的必要而充分條件為：

K +K +K +K =4 和 （K +K）=（K +K） （8）

1 2 3 4 1 3 2 4

當此條件滿足時，四支點的靜不定衡器，用

來稱重時，稱重結果與被稱物放置的位置，即重心所處位置無關，且四個支承點的力值之和就等于物體重量。這是對一臺合格的衡器的基本要求。所以 （8） 式是我們對角偏載調節的理論根據。

四、偏載調節

一臺不經偏載調節合格的秤，是不可能稱為合格的衡器。偏載調節有很多方法。下面介紹一種對四支點衡器的偏載調節方法。

眾所周知，使用模擬傳感器的汽車衡，通常是將傳感器并聯使用，并事先將傳感器的靈敏度配對，配對的要求一般選擇四只傳感器靈敏度間偏差在千分之一以內，最好將輸出阻抗也選擇一致，輸出零點也在指標之內。然而，即使這樣，四角偏差通常也超過規程要求。為了調節角差，是通過改變傳感器的供橋電壓或輸出阻抗，改變原來的靈敏度使角差調至一致。此時傳感器的實際“靈敏度”可能明顯的超過原來配對的一致性。由于四只傳感器相互并聯，彼此互為負載，當改變橋壓和輸出阻抗時，都會對其它傳感器的工作狀態發生影響，這種角偏調節是很麻煩和費時的工作。調節的“標準”是試圖將傳感器現實的輸出調至相同，或根據計算將四只輸出電流調至一致。

對數字傳感器或數字通道的汽車衡的角差調節。使用的方法簡單、直觀。將四角測出偏差值，通過軟件手段將其調為相同。

下面介紹我們的方法，未經修正前的實測數據如表 1 所示。

最終的測量結果，是將此時四只傳感器測得的力值相加。在此要特別注意：這些力值是力矩平衡的數值，而不是靜力平衡的數值。

一臺合格的衡器要求稱重結果與被稱物放置的位置，即重心的位置無關。調角差的目的就在于此。下面給出了角差測量值的數學表示式：

K11M0+K21M+K31M0+K41M0=M1

K12M0+K22M0+K32M0+K42M0=M2

K13M0+K23M0+K33M0+K43M0=M3

K14M0+K24M0+K34M0+K44M0=M4

我們的角差修正值是根據上式，用修正前的數據解此方程，對系數 K 修正，結果如表 2 所示。

表 2

修正后的結果如表 3 所示，修正前測量結果平均值為 87908.3，與均值的最大偏差為 0.3%左

右。修正后測量結果的平均值為 87908.5，此時與平均值的最大偏差小于萬分之一。

無論何種修正，最終還必須經實測驗證。

五、重心測量

利用稱重方法測量物體的重心，是一種簡便、實用的方法。在上世紀九十年代我與哈工大的老師研制過一臺測量坦克重心的裝置，近些年參與一些重心測量的項目。本文是在重心測量工作中涉及的一些問題的啟發而寫的。

根據力學原理，力矩平衡點即是物體的重心點。一個系統的支點就是系統的重點。系統將保持平衡。對于靜不定系統的四支點衡器，此時在 y

方向的力矩平衡方程為：

F1+F3=（1+y/e）M/2 F1+F3=（1+y/e）M/2 和 M=F1+F2+F3+F4

上兩式相減可得到在 y 方向力矩平衡的坐標位

置：

y/e=[（F +F）-（F +F）]/（F +F +F +F） （9）

1 3 2 4 1 2 3 4

而根據 （3） 和 （4） 有以下關系：

此時由四只傳感器測得的力值，求得的力矩平衡點不與物體的重心位置相重合。只有在滿足（8） 的條件下，測得的力矩平衡點才是被測物的重心。修正前和修正后的數據計算得到的力矩平衡位置和力矩平衡的受力分配系數，如表 4、表 5

所示。在這里講到計算 y 軸方向的結果。

分之一以內，可認為基本滿足 （8） 的條件，求得的修正后的力矩平衡點的坐標值，就是角偏放置砝碼的重心的位置 y0。各象限的砝碼力矩平衡重心坐標 y0 值，就是按此結果，根據 （3） 和 （4） 式

求得。結合第二、第四象限和 X 軸方向的計算結果，可幫助更詳細了解四支點衡器的受力情況。

六、問題與思考

（1） 在測角偏時，所測的四角的數值各不相同，有時測得結果還會大于使用砝碼的值。這種矛盾你能解釋嗎？

（2） 有人認為：衡器中心位置就一定是測量最準確的位置。這種觀點正確嗎？在用比較法檢定砝碼時，應如何評價由兩者位置偏離對誤差的影響？

（3） 傳統調偏將四角的輸出調為一致。理論上依據是什么？如何估計這種方法的誤差？

（4） 多于四個支點的衡器應如何調角差？

（5） 是否只用四只傳感器省去承載器可用來稱重或測量重心？

現實中由于不能理解四支承衡器靜不定屬性，而產生的誤區較為常見，往往使得工作事倍功半或造成錯誤結果。

七、結束語

本文所討論的問題，我在中、外衡器資料中沒有發現有關文章。上述的分析和論述是我思考的結果，供有興趣者討論。